Doğum Günü Paradoksu

Doğum günü paradoksu aslında bir paradoks değildir, ancak sezgiye çok ters düşen olasılık problemlerinden biri olduğu için öyle söylenegelmiştir.

Probleme geçecek olursak, 23 kişilik bir grupta en az iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı sizce kaçtır ?

Genellikle ilk akla gelen bunun düşük bir ihtimal olacağı yönünde, çünkü bir yılda 365 gün var ancak kişi sayısı 23. Dolayısıyla bir hayli düşük bir olasılık gibi gözüküyor, çekinmeden %5 – 10 diye cevaplayabiliriz bu soruyu.

Bu durumu bir paradoks haline getiren ise cevabın “%50 ‘nin üzerinde” olması. Yani 23 kişilik bir grupta en az iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı %50 civarıdır.

60 veya üzerinde bir sayıda ise bu rakam %99’un da üzerine çıkıyor.

 

  • Peki bu yüksek olasılığın sebebi ne?

Bizi ilk bakışta yanılgıya düşüren, cevaba kişi sayısını dikkate alarak gitmeye çalışmamız. Böyle olunca da 365 yanında çok düşük bir sayı olan 23 yanıltıcı oluyor. Oysa ki cevabı kişi sayısından çok bu kişilerin kaç farklı şekilde eşleştirilebileceği etkiliyor.

23 farklı kişi ile oluşturulabilecek farklı çift sayısı ise 253. Yani 365’in yarısından fazla. Bu nedenle ihtimalimiz de %50’nin biraz üzerinde çıkıyor.

  • 253 sayısını nasıl bulduk?

Bu da basit bir hesaba dayanıyor. Gruptaki 1. kişi diğer 22 kişiden herhangi birisi ile eşleşebilir; 2. kişi kalan 21 kişiden herhangi birisi ile; 3. kişi kalan 20 kişiden herhangi birisi ile; …. ; 22. kişi ise kalan 1 kişi ile eşleşebilir.

22 + 21 + 20 + … + 1 = 253

işlemi ile de 253 sayısını buluruz.

Daha ayrıntılı bilgiye http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem bu adresten ulaşabilirsiniz.

2 thoughts on “Doğum Günü Paradoksu

  1. Evet doğru cevap 23 kişi olması ama çözüm yönteminiz yanlış. Çünkü 23 kişi olunca 253 oluyor o da 365in yarısından fazla demişsiniz ama bu mantığa göre 22 de olur, 21 de olur. 365in yarısı 188 dersek eğer 188den daha büyük bir olasık vermek için en az 20 kişi olur. o zaman 19+18+17+……+1 = 190’dır ve bu sayı da 188in yarısından büyüktür.

    Burada anlatmak istediğim sizin çözüm yöntemi yanlış. 23 sayısına permütasyonla ulaşılır.

    Doğru çözüm:
    p[1] = 1 – (365/365) =0

    p[2] = 1- (365/365).(364/365)

    p[3] = 1- (365/365).(364/365).(363/365)

    p[4] = 1- (365/365).(364/365).(363/365).(362/365)

    .
    .
    .
    .
    p[23]= 1- (365/365).(364/365).(363/365).(362/365)…………..(343/365)

    Sonuçlar ise:

    k p[k]

    1 0
    2 0.00274
    3 0.00820
    4 0.0164
    5 0.0271
    6 0.0405
    7 0.0562
    8 0.0743
    9 0.0946
    10 0.117
    11 0.141
    12 0.167
    13 0.194
    14 0.223
    15 0.253
    16 0.284
    17 0.315
    18 0.347
    19 0.379
    20 0.411
    21 0.444
    22 0.476
    23 0.507
    24 0.538
    25 0.569

    Dolayısıyla gördüğünüz gibi 23 için 0.5ten büyük en küçük değer elde ediliyor…

Leave a Reply to misdafendi Cancel reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *